Решение неравенств/ (log(16*x^4)/log(4)+11)/(log(4*x)^2-9)>=-1

(log(16*x^4)/log(4)+11)/(log(4*x)^2-9)>=-1 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (log(16*x^4)/log(4)+11)/(log(4*x)^2-9)>=-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
       /    4\           
log\16*x /           
---------- + 11      
  log(4)             
--------------- >= -1
    2                
 log (4*x) - 9
    $$\frac{\frac{\log{\left(16 x^{4} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 11}{\log{\left(4 x \right)}^{2} - 9} \geq -1$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\frac{\log{\left(16 x^{4} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 11}{\log{\left(4 x \right)}^{2} - 9} \geq -1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\frac{\log{\left(16 x^{4} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 11}{\log{\left(4 x \right)}^{2} - 9} = -1$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 \left(e^{1}\right)^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\frac{\log{\left(16 x^{4} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 11}{\log{\left(4 x \right)}^{2} - 9} \geq -1$$
       /                    4\            
   |   /          -2   \ |            
   |   |        -------| |            
   |   |           1   | |            
   |   |        log (2)| |            
   |   |  1    e       | |            
log|16*|- -- + --------| |            
   \   \  10      4    / /            
-------------------------- + 11       
            1                         
         log (4)                      
-------------------------------- >= -1
                               1      
/    /  /          -2   \\    \       
|    |  |        -------||    |       
|    |  |           1   ||    |       
|    |  |        log (2)||    |       
|   2|  |  1    e       ||    |       
|log |4*|- -- + --------|| - 9|       
\    \  \  10      4    //    /       

             /                   4\      
         |   /         -2   \ |      
         |   |        ------| |      
         |   |        log(2)| |      
         |   |  1    e      | |      
      log|16*|- -- + -------| |      
         \   \  10      4   / /      
 11 + -------------------------      
                log(4)          >= -1
-------------------------------      
                              2      
     /          /      -2   \\       
     |          |     ------||       
     |          |2    log(2)||       
-9 + |pi*I + log|- - e      ||       
     \          \5          //

    Тогда
    $$x \leq \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left(2 \right)}}}} \wedge x \leq \frac{1}{4}$$
             _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /            -2        \                                            \
  |   |           ------     |                                            |
  |   |           log(2)     |     /              -3\     /         3    \|
  |   |          e           |     |             e  |     |        e     ||
Or|And|x <= 1/4, ------- <= x|, And|-oo < x, x < ---|, And|x < oo, -- < x||
  \   \             4        /     \              4 /     \        4     //
    $$\left(x \leq \frac{1}{4} \wedge \frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left (2 \right )}}}} \leq x\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{4 e^{3}}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{e^{3}}{4} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
                    -2                    
               ------                 
       -3      log(2)           3     
      e       e                e      
(-oo, ---) U [-------, 1/4] U (--, oo)
       4         4             4
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{4 e^{3}}\right) \cup \left[\frac{1}{4 e^{\frac{2}{\log{\left (2 \right )}}}}, \frac{1}{4}\right] \cup \left(\frac{e^{3}}{4}, \infty\right)$$
    График
    (log(16*x^4)/log(4)+11)/(log(4*x)^2-9)>=-1 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/cc3b11db0b/7e2cef55be/edd32d94cca6/im.png