Решение неравенств/ log(x-1)/log(2)<=log(16)/log(x-1)

log(x-1)/log(2)<=log(16)/log(x-1) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x-1)/log(2)<=log(16)/log(x-1) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    log(x - 1)     log(16)  
---------- <= ----------
  log(2)      log(x - 1)
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \leq \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \leq \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} = \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} = \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}}$$
    преобразуем
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - \frac{4 \log{\left (2 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x - 1 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(-1 + x)

    b1 = log(2)

    a2 = log(16)

    b2 = log(-1 + x)

    зн. получим ур-ние
    $$\log{\left (x - 1 \right )} \log{\left (x - 1 \right )} = \log{\left (2 \right )} \log{\left (16 \right )}$$
    $$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} = \log{\left (2 \right )} \log{\left (16 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log-1+x^2 = log(2)*log(16)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log-1+x^2 = log2log16

    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    $$\log^{2}{\left (x - 1 \right )} + 1 = 1 + \log{\left (2 \right )} \log{\left (16 \right )}$$
    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    $$\log{\left (x - 1 \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
             w
         -
         1
x - 1 = e

    упрощаем
    $$x - 1 = e^{w}$$
    $$x = e^{w} + 1$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{5}{4}$$
    $$x_{2} = 5$$
    $$x_{1} = \frac{5}{4}$$
    $$x_{2} = 5$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{5}{4}$$
    $$x_{2} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{23}{20}$$
    =
    $$\frac{23}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \leq \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x - 1 \right )}}$$
    $$\frac{\log{\left (-1 + \frac{23}{20} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \leq \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (-1 + \frac{23}{20} \right )}}$$
    -log(20) + log(3)         log(16)     
----------------- <= -----------------
      log(2)         -log(20) + log(3)

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq \frac{5}{4}$$
     _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq \frac{5}{4}$$
    $$x \geq 5$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(x <= 5, 2 < x), x = 5/4)
    $$\left(x \leq 5 \wedge 2 < x\right) \vee x = \frac{5}{4}$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    {5/4} U (2, 5]
    $$x \in \left\{\frac{5}{4}\right\} \cup \left(2, 5\right]$$