log(x)^2>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(x)^2>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2       
log (x) > 2

$$\log^{2}{\left (x \right )} > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log^{2}{\left (x \right )} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log^{2}{\left (x \right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log^{2}{\left (x \right )} = 2$$
преобразуем
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 = 0$$
$$\log^{2}{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \sqrt{2}$$
$$w_{2} = - \sqrt{2}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{2}}$$
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

    ___     
 -\/ 2    1 
e       - --
          10

=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \sqrt{2}}$$
подставляем в выражение
$$\log^{2}{\left (x \right )} > 2$$

    /    ___     \    
   2| -\/ 2    1 |    
log |e       - --| > 2
    \          10/    

    /           ___\    
   2|  1     -\/ 2 |    
log |- -- + e      | > 2
    \  10          /    
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < e^{- \sqrt{2}}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < e^{- \sqrt{2}}$$
$$x > e^{\sqrt{2}}$$

Быстрый ответ

  /   /                 ___\     /           ___    \\
  |   |              -\/ 2 |     |         \/ 2     ||
Or\And\-oo < x, x < e      /, And\x < oo, e      < x//

$$\left(-\infty < x \wedge x < e^{- \sqrt{2}}\right) \vee \left(x < \infty \wedge e^{\sqrt{2}} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

          ___        ___     
       -\/ 2       \/ 2      
(-oo, e      ) U (e     , oo)

$$x \in \left(-\infty, e^{- \sqrt{2}}\right) \cup \left(e^{\sqrt{2}}, \infty\right)$$