1>(x+2)^3 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: 1>(x+2)^3 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$1 > \left(x + 2\right)^{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$1 = \left(x + 2\right)^{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$1 = \left(x + 2\right)^{3}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$x + 2 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x = -1
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$1 > \left(x + 2\right)^{3}$$
$$1 > \left(- \frac{11}{10} + 2\right)^{3}$$
729
1 > ----
1000значит решение неравенства будет при:
$$x < -1$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике