1/2-sin(x)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1/2-sin(x)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

1/2 - sin(x) > 0

$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Перенесём 1/2 в правую часть ур-ния

с изменением знака при 1/2

Получим:
$$- \sin{\left (x \right )} = - \frac{1}{2}$$

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{\pi}{6} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} > 0$$

1      /pi            1 \    
- - sin|-- + 2*pi*n - --| > 0
2      \6             10/    

1      /  1    pi         \    
- - sin|- -- + -- + 2*pi*n| > 0
2      \  10   6          /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < --|, And|---- < x, x < oo||
  \   \             6 /     \ 6              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      pi     5*pi     
(-oo, --) U (----, oo)
      6       6       

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$

График