(1/2)^x>=2 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: (1/2)^x>=2 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geq 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 2$$
или
$$-2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 2$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geq 2$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{19}{10}} \geq 2$$
10___
\/ 2
----- >= 2
4
но
10___
\/ 2
----- < 2
4
Тогда
$$x \leq 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 2$$
_____
/
-------•-------
x1
Решение неравенства на графике