(1/2)^x+(1/2)^x-2>5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/2)^x+(1/2)^x-2>5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x    -x        
2   + 2   - 2 > 5

$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} > 5$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} > 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 5$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 5$$
или
$$\left(\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) - 5 = 0$$
или
$$2 \cdot 2^{- x} = 7$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \frac{7}{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{7}{2} = 0$$
или
$$v - \frac{7}{2} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{7}{2}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{7}{2}$$
=
$$\frac{17}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} > 5$$
$$\left(-1\right) 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{17}{5}} + \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{17}{5}} > 5$$

      3/5    
     2       
-2 + ---- > 5
      8      
    

Тогда
$$x < \frac{7}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{7}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

        log(7)
x < 1 - ------
        log(2)

$$x < - \frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 1$$

Быстрый ответ 2

          log(7) 
(-oo, 1 - ------)
          log(2) 

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 1\right)$$

График