5^(3-x)<1/25 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^(3-x)<1/25 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3 - x       
5      < 1/25

$$5^{3 - x} < \frac{1}{25}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{3 - x} < \frac{1}{25}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{3 - x} = \frac{1}{25}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{3 - x} = \frac{1}{25}$$
или
$$5^{3 - x} - \frac{1}{25} = 0$$
или
$$125 \cdot 5^{- x} = \frac{1}{25}$$
или
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = \frac{1}{3125}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{5}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{3125} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{3125} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{3125}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3125}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3125}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3125}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3125}$$
=
$$- \frac{623}{6250}$$
подставляем в выражение
$$5^{3 - x} < \frac{1}{25}$$
$$5^{3 - - \frac{623}{6250}} < \frac{1}{25}$$

     623        
     ----       
     6250 < 1/25
125*5           
       

но

     623        
     ----       
     6250 > 1/25
125*5           
       

Тогда
$$x < \frac{1}{3125}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{3125}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

5 < x

$$5 < x$$

Быстрый ответ 2

(5, oo)

$$x\ in\ \left(5, \infty\right)$$

График