sin(2*x)<=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x)<=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(2*x) <= 1/2

$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{12}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \leq \frac{1}{2}$$

   /1   pi\       
cos|- + --| <= 1/2
   \5   3 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x \geq \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi             \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x < pi||
  \   \             12/     \ 12              //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{12}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{12} \leq x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi     
[0, --] U [----, pi)
    12      12      

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \pi\right)$$

График