sin(t)<sqrt(3)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(t)<sqrt(3)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

           ___
         \/ 3 
sin(t) < -----
           2  

$$\sin{\left(t \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left(t \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
$$\sin{\left(t \right)} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(t \right)}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w - 1*sqrt3/2 = 0

Разделим обе части ур-ния на (w - sqrt(3)/2)/w

w = 0 / ((w - sqrt(3)/2)/w)

Получим ответ: w = sqrt(3)/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left(t \right)} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -42.9350995990605$$
$$x_{2} = 77.4926187885482$$
$$x_{3} = -10.471975511966$$
$$x_{4} = -92.1533845053006$$
$$x_{5} = -99.4837673636768$$
$$x_{6} = 195.825942073764$$
$$x_{7} = 57.5958653158129$$
$$x_{8} = -520.457182944709$$
$$x_{9} = -29.3215314335047$$
$$x_{10} = 90.0589894029074$$
$$x_{11} = 26.1799387799149$$
$$x_{12} = -104.71975511966$$
$$x_{13} = -36.6519142918809$$
$$x_{14} = 38.7463093942741$$
$$x_{15} = 209.43951023932$$
$$x_{16} = 101.57816246607$$
$$x_{17} = 83.7758040957278$$
$$x_{18} = -6607.81654805053$$
$$x_{19} = 58.6430628670095$$
$$x_{20} = 33.5103216382911$$
$$x_{21} = 240.855436775217$$
$$x_{22} = -4.18879020478639$$
$$x_{23} = 8.37758040957278$$
$$x_{24} = -17.8023583703422$$
$$x_{25} = 27.2271363311115$$
$$x_{26} = 82.7286065445312$$
$$x_{27} = -73.3038285837618$$
$$x_{28} = 13.6135681655558$$
$$x_{29} = 89.0117918517108$$
$$x_{30} = -93.2005820564972$$
$$x_{31} = -16.7551608191456$$
$$x_{32} = -61.7846555205993$$
$$x_{33} = 146.607657167524$$
$$x_{34} = 64.9262481741891$$
$$x_{35} = 71.2094334813686$$
$$x_{36} = 95.2949771588904$$
$$x_{37} = -79.5870138909414$$
$$x_{38} = -60.7374579694027$$
$$x_{39} = -67.0206432765823$$
$$x_{40} = -613.657765001206$$
$$x_{41} = 14.6607657167524$$
$$x_{42} = -85.870199198121$$
$$x_{43} = 32.4631240870945$$
$$x_{44} = -23.0383461263252$$
$$x_{45} = 944.572191179331$$
$$x_{46} = 52.3598775598299$$
$$x_{47} = 170.693200845045$$
$$x_{48} = -54.4542726622231$$
$$x_{49} = 46.0766922526503$$
$$x_{50} = -74.3510261349584$$
$$x_{51} = -55.5014702134197$$
$$x_{52} = -98.4365698124802$$
$$x_{53} = -112.050137978036$$
$$x_{54} = 63.8790506229925$$
$$x_{55} = 1188.56922060814$$
$$x_{56} = 51.3126800086333$$
$$x_{57} = 96.342174710087$$
$$x_{58} = 19.8967534727354$$
$$x_{59} = -86.9173967493176$$
$$x_{60} = -30.3687289847013$$
$$x_{61} = -49.2182849062401$$
$$x_{62} = 7.33038285837618$$
$$x_{63} = 76.4454212373516$$
$$x_{64} = -80.634211442138$$
$$x_{65} = -48.1710873550435$$
$$x_{66} = 39.7935069454707$$
$$x_{67} = 70.162235930172$$
$$x_{68} = -35.6047167406843$$
$$x_{69} = -68.0678408277789$$
$$x_{70} = 1.0471975511966$$
$$x_{71} = 45.0294947014537$$
$$x_{72} = -24.0855436775217$$
$$x_{73} = -11.5191730631626$$
$$x_{74} = 20.943951023932$$
$$x_{75} = -5.23598775598299$$
$$x_{76} = -41.8879020478639$$
$$x_{77} = 2.0943951023932$$
$$x_{1} = -42.9350995990605$$
$$x_{2} = 77.4926187885482$$
$$x_{3} = -10.471975511966$$
$$x_{4} = -92.1533845053006$$
$$x_{5} = -99.4837673636768$$
$$x_{6} = 195.825942073764$$
$$x_{7} = 57.5958653158129$$
$$x_{8} = -520.457182944709$$
$$x_{9} = -29.3215314335047$$
$$x_{10} = 90.0589894029074$$
$$x_{11} = 26.1799387799149$$
$$x_{12} = -104.71975511966$$
$$x_{13} = -36.6519142918809$$
$$x_{14} = 38.7463093942741$$
$$x_{15} = 209.43951023932$$
$$x_{16} = 101.57816246607$$
$$x_{17} = 83.7758040957278$$
$$x_{18} = -6607.81654805053$$
$$x_{19} = 58.6430628670095$$
$$x_{20} = 33.5103216382911$$
$$x_{21} = 240.855436775217$$
$$x_{22} = -4.18879020478639$$
$$x_{23} = 8.37758040957278$$
$$x_{24} = -17.8023583703422$$
$$x_{25} = 27.2271363311115$$
$$x_{26} = 82.7286065445312$$
$$x_{27} = -73.3038285837618$$
$$x_{28} = 13.6135681655558$$
$$x_{29} = 89.0117918517108$$
$$x_{30} = -93.2005820564972$$
$$x_{31} = -16.7551608191456$$
$$x_{32} = -61.7846555205993$$
$$x_{33} = 146.607657167524$$
$$x_{34} = 64.9262481741891$$
$$x_{35} = 71.2094334813686$$
$$x_{36} = 95.2949771588904$$
$$x_{37} = -79.5870138909414$$
$$x_{38} = -60.7374579694027$$
$$x_{39} = -67.0206432765823$$
$$x_{40} = -613.657765001206$$
$$x_{41} = 14.6607657167524$$
$$x_{42} = -85.870199198121$$
$$x_{43} = 32.4631240870945$$
$$x_{44} = -23.0383461263252$$
$$x_{45} = 944.572191179331$$
$$x_{46} = 52.3598775598299$$
$$x_{47} = 170.693200845045$$
$$x_{48} = -54.4542726622231$$
$$x_{49} = 46.0766922526503$$
$$x_{50} = -74.3510261349584$$
$$x_{51} = -55.5014702134197$$
$$x_{52} = -98.4365698124802$$
$$x_{53} = -112.050137978036$$
$$x_{54} = 63.8790506229925$$
$$x_{55} = 1188.56922060814$$
$$x_{56} = 51.3126800086333$$
$$x_{57} = 96.342174710087$$
$$x_{58} = 19.8967534727354$$
$$x_{59} = -86.9173967493176$$
$$x_{60} = -30.3687289847013$$
$$x_{61} = -49.2182849062401$$
$$x_{62} = 7.33038285837618$$
$$x_{63} = 76.4454212373516$$
$$x_{64} = -80.634211442138$$
$$x_{65} = -48.1710873550435$$
$$x_{66} = 39.7935069454707$$
$$x_{67} = 70.162235930172$$
$$x_{68} = -35.6047167406843$$
$$x_{69} = -68.0678408277789$$
$$x_{70} = 1.0471975511966$$
$$x_{71} = 45.0294947014537$$
$$x_{72} = -24.0855436775217$$
$$x_{73} = -11.5191730631626$$
$$x_{74} = 20.943951023932$$
$$x_{75} = -5.23598775598299$$
$$x_{76} = -41.8879020478639$$
$$x_{77} = 2.0943951023932$$
Данные корни
$$x_{18} = -6607.81654805053$$
$$x_{40} = -613.657765001206$$
$$x_{8} = -520.457182944709$$
$$x_{53} = -112.050137978036$$
$$x_{12} = -104.71975511966$$
$$x_{5} = -99.4837673636768$$
$$x_{52} = -98.4365698124802$$
$$x_{30} = -93.2005820564972$$
$$x_{4} = -92.1533845053006$$
$$x_{59} = -86.9173967493176$$
$$x_{42} = -85.870199198121$$
$$x_{64} = -80.634211442138$$
$$x_{37} = -79.5870138909414$$
$$x_{50} = -74.3510261349584$$
$$x_{27} = -73.3038285837618$$
$$x_{69} = -68.0678408277789$$
$$x_{39} = -67.0206432765823$$
$$x_{32} = -61.7846555205993$$
$$x_{38} = -60.7374579694027$$
$$x_{51} = -55.5014702134197$$
$$x_{48} = -54.4542726622231$$
$$x_{61} = -49.2182849062401$$
$$x_{65} = -48.1710873550435$$
$$x_{1} = -42.9350995990605$$
$$x_{76} = -41.8879020478639$$
$$x_{13} = -36.6519142918809$$
$$x_{68} = -35.6047167406843$$
$$x_{60} = -30.3687289847013$$
$$x_{9} = -29.3215314335047$$
$$x_{72} = -24.0855436775217$$
$$x_{44} = -23.0383461263252$$
$$x_{24} = -17.8023583703422$$
$$x_{31} = -16.7551608191456$$
$$x_{73} = -11.5191730631626$$
$$x_{3} = -10.471975511966$$
$$x_{75} = -5.23598775598299$$
$$x_{22} = -4.18879020478639$$
$$x_{70} = 1.0471975511966$$
$$x_{77} = 2.0943951023932$$
$$x_{62} = 7.33038285837618$$
$$x_{23} = 8.37758040957278$$
$$x_{28} = 13.6135681655558$$
$$x_{41} = 14.6607657167524$$
$$x_{58} = 19.8967534727354$$
$$x_{74} = 20.943951023932$$
$$x_{11} = 26.1799387799149$$
$$x_{25} = 27.2271363311115$$
$$x_{43} = 32.4631240870945$$
$$x_{20} = 33.5103216382911$$
$$x_{14} = 38.7463093942741$$
$$x_{66} = 39.7935069454707$$
$$x_{71} = 45.0294947014537$$
$$x_{49} = 46.0766922526503$$
$$x_{56} = 51.3126800086333$$
$$x_{46} = 52.3598775598299$$
$$x_{7} = 57.5958653158129$$
$$x_{19} = 58.6430628670095$$
$$x_{54} = 63.8790506229925$$
$$x_{34} = 64.9262481741891$$
$$x_{67} = 70.162235930172$$
$$x_{35} = 71.2094334813686$$
$$x_{63} = 76.4454212373516$$
$$x_{2} = 77.4926187885482$$
$$x_{26} = 82.7286065445312$$
$$x_{17} = 83.7758040957278$$
$$x_{29} = 89.0117918517108$$
$$x_{10} = 90.0589894029074$$
$$x_{36} = 95.2949771588904$$
$$x_{57} = 96.342174710087$$
$$x_{16} = 101.57816246607$$
$$x_{33} = 146.607657167524$$
$$x_{47} = 170.693200845045$$
$$x_{6} = 195.825942073764$$
$$x_{15} = 209.43951023932$$
$$x_{21} = 240.855436775217$$
$$x_{45} = 944.572191179331$$
$$x_{55} = 1188.56922060814$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{18}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{18} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6607.81654805053 - \frac{1}{10}$$
=
$$-6607.91654805053$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

           ___
         \/ 3 
sin(t) < -----
           2  
         

Тогда
$$x < -6607.81654805053$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -6607.81654805053 \wedge x < -613.657765001206$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x18      x40      x8      x53      x12      x5      x52      x30      x4      x59      x42      x64      x37      x50      x27      x69      x39      x32      x38      x51      x48      x61      x65      x1      x76      x13      x68      x60      x9      x72      x44      x24      x31      x73      x3      x75      x22      x70      x77      x62      x23      x28      x41      x58      x74      x11      x25      x43      x20      x14      x66      x71      x49      x56      x46      x7      x19      x54      x34      x67      x35      x63      x2      x26      x17      x29      x10      x36      x57      x16      x33      x47      x6      x15      x21      x45      x55

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -6607.81654805053 \wedge x < -613.657765001206$$
$$x > -520.457182944709 \wedge x < -112.050137978036$$
$$x > -104.71975511966 \wedge x < -99.4837673636768$$
$$x > -98.4365698124802 \wedge x < -93.2005820564972$$
$$x > -92.1533845053006 \wedge x < -86.9173967493176$$
$$x > -85.870199198121 \wedge x < -80.634211442138$$
$$x > -79.5870138909414 \wedge x < -74.3510261349584$$
$$x > -73.3038285837618 \wedge x < -68.0678408277789$$
$$x > -67.0206432765823 \wedge x < -61.7846555205993$$
$$x > -60.7374579694027 \wedge x < -55.5014702134197$$
$$x > -54.4542726622231 \wedge x < -49.2182849062401$$
$$x > -48.1710873550435 \wedge x < -42.9350995990605$$
$$x > -41.8879020478639 \wedge x < -36.6519142918809$$
$$x > -35.6047167406843 \wedge x < -30.3687289847013$$
$$x > -29.3215314335047 \wedge x < -24.0855436775217$$
$$x > -23.0383461263252 \wedge x < -17.8023583703422$$
$$x > -16.7551608191456 \wedge x < -11.5191730631626$$
$$x > -10.471975511966 \wedge x < -5.23598775598299$$
$$x > -4.18879020478639 \wedge x < 1.0471975511966$$
$$x > 2.0943951023932 \wedge x < 7.33038285837618$$
$$x > 8.37758040957278 \wedge x < 13.6135681655558$$
$$x > 14.6607657167524 \wedge x < 19.8967534727354$$
$$x > 20.943951023932 \wedge x < 26.1799387799149$$
$$x > 27.2271363311115 \wedge x < 32.4631240870945$$
$$x > 33.5103216382911 \wedge x < 38.7463093942741$$
$$x > 39.7935069454707 \wedge x < 45.0294947014537$$
$$x > 46.0766922526503 \wedge x < 51.3126800086333$$
$$x > 52.3598775598299 \wedge x < 57.5958653158129$$
$$x > 58.6430628670095 \wedge x < 63.8790506229925$$
$$x > 64.9262481741891 \wedge x < 70.162235930172$$
$$x > 71.2094334813686 \wedge x < 76.4454212373516$$
$$x > 77.4926187885482 \wedge x < 82.7286065445312$$
$$x > 83.7758040957278 \wedge x < 89.0117918517108$$
$$x > 90.0589894029074 \wedge x < 95.2949771588904$$
$$x > 96.342174710087 \wedge x < 101.57816246607$$
$$x > 146.607657167524 \wedge x < 170.693200845045$$
$$x > 195.825942073764 \wedge x < 209.43951023932$$
$$x > 240.855436775217 \wedge x < 944.572191179331$$
$$x > 1188.56922060814$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /2*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            3 /     \ 3                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     2*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    3       3         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2 \pi}{3}, 2 \pi\right)$$