Решение неравенств/ sin(x-pi/3)>1/2

sin(x-pi/3)>1/2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x-pi/3)>1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
       /    pi\      
sin|x - --| > 1/2
   \    3 /
    $$\sin{\left (x - \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x - \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x - \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x - \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Разделим обе части ур-ния на -1

    Ур-ние превратится в
    $$\cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )} = - \frac{1}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    Или
    $$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    , где n - любое целое число
    Перенесём
    $$\frac{\pi}{6}$$
    в правую часть ур-ния
    с противоположным знаком, итого:
    $$x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{\pi}{2} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x - \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$
       /pi          1    pi\      
sin|-- + pi*n - -- - --| > 1/2
   \2           10   3 /      

       /  1    pi       \      
sin|- -- + -- + pi*n| > 1/2
   \  10   6        /

    Тогда
    $$x < \pi n + \frac{\pi}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \pi n + \frac{\pi}{2} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{2}$$
             _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /pi          7*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \2            6  /
    $$\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}$$
    Быстрый ответ 2 [src]
     pi  7*pi 
(--, ----)
 2    6
    $$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{6}\right)$$