sin(x+pi/4)<=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x+pi/4)<=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /    pi\       
sin|x + --| <= 1/2
   \    4 /       

$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{12}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\left(2 \pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{1}{2}$$

   /1    pi\       
cos|-- + --| <= 1/2
   \10   3 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$

Быстрый ответ

   /                /  ___     ___\           /  ___     ___\     \
   |                |\/ 2  - \/ 6 |           |\/ 2  + \/ 6 |     |
And|x <= 2*pi + atan|-------------|, pi + atan|-------------| <= x|
   |                |  ___     ___|           |  ___     ___|     |
   \                \\/ 2  + \/ 6 /           \\/ 2  - \/ 6 /     /

$$x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi \leq x$$

Быстрый ответ 2

          /  ___     ___\             /  ___     ___\ 
          |\/ 2  + \/ 6 |             |\/ 2  - \/ 6 | 
[pi + atan|-------------|, 2*pi + atan|-------------|]
          |  ___     ___|             |  ___     ___| 
          \\/ 2  - \/ 6 /             \\/ 2  + \/ 6 / 

$$x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi, \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi\right]$$

График