sin(x)+cos(x)<v (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x)+cos(x)<v (множество решений неравенства)

Вы ввели

                   1
sin(x) + cos(x) < v 

$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < v^{1}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < v^{1}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = v^{1}$$
Решаем:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} + 1}{v + 1} \right )}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} + 1}{v + 1} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} + 1}{v + 1} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

        /        ________\     
        |       /      2 |     
        |-1 + \/  2 - v  |   1 
- 2*atan|----------------| - --
        |           1    |   10
        \    (1 + v)     /     

=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} < v^{1}$$

   /        /        ________\     \      /        /        ________\     \     
   |        |       /      2 |     |      |        |       /      2 |     |     
   |        |-1 + \/  2 - v  |   1 |      |        |-1 + \/  2 - v  |   1 |    1
sin|- 2*atan|----------------| - --| + cos|- 2*atan|----------------| - --| < v 
   |        |           1    |   10|      |        |           1    |   10|     
   \        \    (1 + v)     /     /      \        \    (1 + v)     /     /     

     /           /        ________\\      /           /        ________\\    
     |           |       /      2 ||      |           |       /      2 ||    
     |1          |-1 + \/  2 - v  ||      |1          |-1 + \/  2 - v  || < v
- sin|-- + 2*atan|----------------|| + cos|-- + 2*atan|----------------||    
     \10         \     1 + v      //      \10         \     1 + v      //    

Тогда
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} - 1}{v + 1} \right )} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{- v^{2} + 2} + 1}{v + 1} \right )}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2