tan(x)^2<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: tan(x)^2<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2        
tan (x) <= 1

$$\tan^{2}{\left (x \right )} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan^{2}{\left (x \right )} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan^{2}{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left (x \right )} - 1 = 0$$
$$\tan^{2}{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  4    10

=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\tan^{2}{\left (x \right )} \leq 1$$

   2/  pi   1 \     
tan |- -- - --| <= 1
    \  4    10/     

   2/1    pi\     
tan |-- + --| <= 1
    \10   4 /     

но

   2/1    pi\     
tan |-- + --| >= 1
    \10   4 /     

Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /-pi             pi\
And|---- <= x, x <= --|
   \ 4              4 /

$$- \frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 -pi   pi 
[----, --]
  4    4  

$$x \in \left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$