3/4>sin(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3/4>sin(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

3/4 > sin(x)

$$\frac{3}{4} > \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{3}{4} > \sin{\left (x \right )}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{3}{4} = \sin{\left (x \right )}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{3}{4} = \sin{\left (x \right )}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{3}{4}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\frac{3}{4} > \sin{\left (x \right )}$$
$$\frac{3}{4} > \sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + - \frac{1}{10} \right )}$$

3/4 > sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(3/4))

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < asin(3/4)), And(x < oo, pi - asin(3/4) < x))

$$\left(-\infty < x \wedge x < \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, asin(3/4)) U (pi - asin(3/4), oo)

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )}\right) \cup \left(- \operatorname{asin}{\left (\frac{3}{4} \right )} + \pi, \infty\right)$$