3^x<1/9 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3^x<1/9 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      
3  < 1/9

$$3^{x} < \frac{1}{9}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3^{x} < \frac{1}{9}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x} = \frac{1}{9}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x} = \frac{1}{9}$$
или
$$3^{x} - \frac{1}{9} = 0$$
или
$$3^{x} = \frac{1}{9}$$
или
$$3^{x} = \frac{1}{9}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{9} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{9} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{9}$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{9}$$
=
$$\frac{1}{90}$$
подставляем в выражение
$$3^{x} < \frac{1}{9}$$
$$\sqrt[90]{3} < \frac{1}{9}$$

90___      
\/ 3  < 1/9
      

но

90___      
\/ 3  > 1/9
      

Тогда
$$x < \frac{1}{9}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{9}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

x < -2

$$x < -2$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -2)

$$x\ in\ \left(-\infty, -2\right)$$

График