Решение неравенств/ 3^(x^2)*5^x-1>=3

3^(x^2)*5^x-1>=3 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 3^(x^2)*5^x-1>=3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     / 2\            
 \x /  x         
3    *5  - 1 >= 3
    $$3^{x^{2}} \cdot 5^{x} - 1 \geq 3$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$3^{x^{2}} \cdot 5^{x} - 1 \geq 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$3^{x^{2}} \cdot 5^{x} - 1 = 3$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    $$x_{2} = \frac{- \log{\left(5 \right)} + \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    $$x_{1} = \frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    $$x_{2} = \frac{- \log{\left(5 \right)} + \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    $$x_{2} = \frac{- \log{\left(5 \right)} + \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$3^{x^{2}} \cdot 5^{x} - 1 \geq 3$$
    $$\left(-1\right) 1 + 3^{\left(\frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}} - \frac{1}{10}\right)^{2}} \cdot 5^{\frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}} - \frac{1}{10}} \geq 3$$
          /                                                 2\                                                      
      |/            __________________________         \ |              __________________________              
      ||           /    2         / log(256)\          | |             /    2         / log(256)\               
      ||  1    - \/  log (5) + log\3        /  - log(5)| |    1    - \/  log (5) + log\3        /  - log(5) >= 3
      ||- -- + ----------------------------------------| |  - -- + ----------------------------------------     
      \\  10                   2*log(3)                / /    10                   2*log(3)                     
-1 + 3                                                    *5

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq \frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
     _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq \frac{- \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}} - \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    $$x \geq \frac{- \log{\left(5 \right)} + \sqrt{\log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(3^{\log{\left(256 \right)}} \right)}}}{2 \log{\left(3 \right)}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /      /   __________________________         \          \     /   __________________________                      \\
  |   |      |  /    2         / log(256)\          |          |     |  /    2         / log(256)\                       ||
  |   |     -\\/  log (5) + log\3        /  + log(5)/          |     |\/  log (5) + log\3        /  - log(5)             ||
Or|And|x <= ------------------------------------------, -oo < x|, And|-------------------------------------- <= x, x < oo||
  \   \                      2*log(3)                          /     \               2*log(3)                            //
    $$\left(x \leq - \frac{1}{2 \log{\left (3 \right )}} \left(\log{\left (5 \right )} + \sqrt{\log^{2}{\left (5 \right )} + \log{\left (3^{\log{\left (256 \right )}} \right )}}\right) \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{1}{2 \log{\left (3 \right )}} \left(- \log{\left (5 \right )} + \sqrt{\log^{2}{\left (5 \right )} + \log{\left (3^{\log{\left (256 \right )}} \right )}}\right) \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
           /   __________________________         \         __________________________              
       |  /    2         / log(256)\          |        /    2         / log(256)\               
      -\\/  log (5) + log\3        /  + log(5)/      \/  log (5) + log\3        /  - log(5)     
(-oo, ------------------------------------------] U [--------------------------------------, oo)
                       2*log(3)                                     2*log(3)
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2 \log{\left (3 \right )}} \left(\log{\left (5 \right )} + \sqrt{\log^{2}{\left (5 \right )} + \log{\left (3^{\log{\left (256 \right )}} \right )}}\right)\right] \cup \left[\frac{1}{2 \log{\left (3 \right )}} \left(- \log{\left (5 \right )} + \sqrt{\log^{2}{\left (5 \right )} + \log{\left (3^{\log{\left (256 \right )}} \right )}}\right), \infty\right)$$
    График
    3^(x^2)*5^x-1>=3 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/7/ac/65cb03f47652a46b2fa3069fc121a.png