(x-4)^3<3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-4)^3<3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       3    
(x - 4)  < 3

$$\left(x - 4\right)^{3} < 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 4\right)^{3} < 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 4\right)^{3} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(x - 4\right)^{3} = 3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{3}} = \sqrt[3]{3}$$
или
$$x - 4 = \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-4 + x = 3^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = \sqrt[3]{3} + 4$$
Получим ответ: x = 4 + 3^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 4$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 4$$
$$x = z + 4$$

$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 4$$
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 4$$
Данные корни
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt[3]{3} + 4$$
=
$$\sqrt[3]{3} + \frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 4\right)^{3} < 3$$
$$\left(-4 + - \frac{1}{10} + \sqrt[3]{3} + 4\right)^{3} < 3$$

              3    
/  1    3 ___\     
|- -- + \/ 3 |  < 3
\  10        /     
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \sqrt[3]{3} + 4$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /                    /       3       2          \\
And\-oo < x, x < CRootOf\-67 + x  - 12*x  + 48*x, 0//

$$-\infty < x \wedge x < \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 67, 0\right)}$$

Быстрый ответ 2

             /       3       2          \ 
(-oo, CRootOf\-67 + x  - 12*x  + 48*x, 0/)

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 67, 0\right)}\right)$$