(x^2-4)*(x+1)*(x-8)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x^2-4)*(x+1)*(x-8)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

/ 2    \                    
\x  - 4/*(x + 1)*(x - 8) > 0

$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right) \left(x - 8\right) > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right) \left(x - 8\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right) \left(x - 8\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right) \left(x - 8\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 8 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x^{2} - 4 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 8 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 8$$
Получим ответ: x1 = 8
2.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x2 = -1
3.
$$x^{2} - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-4) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = -2$$
Данные корни
$$x_{4} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 4\right) \left(x - 8\right) > 0$$
$$\left(-4 + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}\right) \left(- \frac{21}{10} + 1\right) \left(-8 - \frac{21}{10}\right) > 0$$

45551    
----- > 0
10000    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -2$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x4      x2      x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -2$$
$$x > -1 \wedge x < 2$$
$$x > 8$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -2), And(-1 < x, x < 2), And(8 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(-1 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(8 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -2) U (-1, 2) U (8, oo)

$$x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-1, 2\right) \cup \left(8, \infty\right)$$

График