(x-7)^2<sqrt(11)*(x-7) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-7)^2<sqrt(11)*(x-7) (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2     ____        
(x - 7)  < \/ 11 *(x - 7)

$$\left(x - 7\right)^{2} < \sqrt{11} \left(x - 7\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 7\right)^{2} < \sqrt{11} \left(x - 7\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 7\right)^{2} = \sqrt{11} \left(x - 7\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 7\right)^{2} = \sqrt{11} \left(x - 7\right)$$
в
$$\left(x - 7\right)^{2} - \sqrt{11} \left(x - 7\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 7\right)^{2} - \sqrt{11} \left(x - 7\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 14 x - \sqrt{11} x + 7 \sqrt{11} + 49 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -14 - \sqrt{11}$$
$$c = 7 \sqrt{11} + 49$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-14 - sqrt(11))^2 - 4 * (1) * (49 + 7*sqrt(11)) = -196 + (-14 - sqrt(11))^2 - 28*sqrt(11)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + 7$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + 7$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + 7$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7\right)$$
=
$$- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{69}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 7\right)^{2} < \sqrt{11} \left(x - 7\right)$$
$$\left(\left(-1\right) 7 + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{69}{10}\right)\right)^{2} < \sqrt{11} \left(\left(-1\right) 7 + \left(- \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{69}{10}\right)\right)$$

                                                          2          /                    ____________________________________\
/                    ____________________________________\           |                   /                      2             |
|                   /                      2             |           |         ____     /         /        ____\         ____ |
|         ____     /         /        ____\         ____ |  <   ____ |  1    \/ 11    \/   -196 + \-14 - \/ 11 /  - 28*\/ 11  |
|  1    \/ 11    \/   -196 + \-14 - \/ 11 /  - 28*\/ 11  |    \/ 11 *|- -- + ------ - ----------------------------------------|
|- -- + ------ - ----------------------------------------|           \  10     2                         2                    /
\  10     2                         2                    /    

но

                                                          2          /                    ____________________________________\
/                    ____________________________________\           |                   /                      2             |
|                   /                      2             |           |         ____     /         /        ____\         ____ |
|         ____     /         /        ____\         ____ |  >   ____ |  1    \/ 11    \/   -196 + \-14 - \/ 11 /  - 28*\/ 11  |
|  1    \/ 11    \/   -196 + \-14 - \/ 11 /  - 28*\/ 11  |    \/ 11 *|- -- + ------ - ----------------------------------------|
|- -- + ------ - ----------------------------------------|           \  10     2                         2                    /
\  10     2                         2                    /    

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2} + 7 \wedge x < \frac{\sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{-196 - 28 \sqrt{11} + \left(-14 - \sqrt{11}\right)^{2}}}{2} + 7$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /                 ____\
And\7 < x, x < 7 + \/ 11 /

$$7 < x \wedge x < \sqrt{11} + 7$$

Быстрый ответ 2

          ____ 
(7, 7 + \/ 11 )

$$x\ in\ \left(7, \sqrt{11} + 7\right)$$

График