x^2-x-3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2-x-3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2            
x  - x - 3 > 0

$$x^{2} - x - 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} - x - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - x - 3 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-3) = 13

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ____     
1   \/ 13    1 
- - ------ - --
2     2      10

=
$$- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - x - 3 > 0$$

                 2                          
/      ____     \          ____             
|1   \/ 13    1 |    1   \/ 13    1         
|- - ------ - --|  - - - ------ - -- - 3 > 0
\2     2      10/    2     2      10        

                   2             
       /      ____\      ____    
  17   |2   \/ 13 |    \/ 13  > 0
- -- + |- - ------|  + ------    
  5    \5     2   /      2       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                   ____\     /              ____    \\
  |   |             1   \/ 13 |     |        1   \/ 13     ||
Or|And|-oo < x, x < - - ------|, And|x < oo, - + ------ < x||
  \   \             2     2   /     \        2     2       //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

            ____           ____     
      1   \/ 13      1   \/ 13      
(-oo, - - ------) U (- + ------, oo)
      2     2        2     2        

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$