x^12>p (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^12>p (множество решений неравенства)

Вы ввели

 12    
x   > p

$$x^{12} > p$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{12} > p$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{12} = p$$
Решаем:
$$x_{1} = - \sqrt[12]{p}$$
$$x_{2} = \sqrt[12]{p}$$
$$x_{3} = - i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{4} = i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{11} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{12} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{1} = - \sqrt[12]{p}$$
$$x_{2} = \sqrt[12]{p}$$
$$x_{3} = - i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{4} = i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{11} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{12} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \sqrt[12]{p}$$
$$x_{2} = \sqrt[12]{p}$$
$$x_{3} = - i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{4} = i \sqrt[12]{p}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{11} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x_{12} = \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  12___   1 
- \/ p  - --
          10

=
$$- \sqrt[12]{p} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{12} > p$$

              12    
/  12___   1 \      
|- \/ p  - --|   > p
\          10/      

              12    
/  1    12___\      
|- -- - \/ p |   > p
\  10        /      
    

Тогда
$$x < - \sqrt[12]{p}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt[12]{p} \wedge x < \sqrt[12]{p}$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4      x5      x6      x7      x8      x9      x10      x11      x12

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - \sqrt[12]{p} \wedge x < \sqrt[12]{p}$$
$$x > - i \sqrt[12]{p} \wedge x < i \sqrt[12]{p}$$
$$x > - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p} \wedge x < - \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x > \frac{\sqrt[12]{p}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p} \wedge x < \frac{\sqrt[12]{p}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[12]{p}$$
$$x > - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2} \wedge x < - \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$
$$x > \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} - \frac{i \sqrt[12]{p}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{3} \sqrt[12]{p}}{2} + \frac{i \sqrt[12]{p}}{2}$$