x^3-25<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^3-25<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3         
x  - 25 < 0

$$x^{3} - 25 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{3} - 25 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - 25 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{3} - 25 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{25}$$
или
$$x = 5^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^2/3

Получим ответ: x = 5^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 25$$
где
$$r = 5^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 5^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 5^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{3} = - \frac{5^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 5^{\frac{2}{3}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 5^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{1} = 5^{\frac{2}{3}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 5^{\frac{2}{3}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5^{\frac{2}{3}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5^{\frac{2}{3}}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - 25 < 0$$
$$-25 + \left(- \frac{1}{10} + 5^{\frac{2}{3}}\right)^{3} < 0$$

                   3    
      /  1     2/3\     
-25 + |- -- + 5   |  < 0
      \  10       /     
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 5^{\frac{2}{3}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /              2/3\
And\-oo < x, x < 5   /

$$-\infty < x \wedge x < 5^{\frac{2}{3}}$$

Быстрый ответ 2

       2/3 
(-oo, 5   )

$$x \in \left(-\infty, 5^{\frac{2}{3}}\right)$$