(3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (3*log(3*x)-1)*(3-4*x)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(3*log(3*x) - 1)*(3 - 4*x) >= 0

$$\left(3 - 4 x\right) \left(3 \log{\left(3 x \right)} - 1\right) \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(3 - 4 x\right) \left(3 \log{\left(3 x \right)} - 1\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(3 - 4 x\right) \left(3 \log{\left(3 x \right)} - 1\right) = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\left(3 - 4 x\right) \left(3 \log{\left(3 x \right)} - 1\right) \geq 0$$
$$\left(3 - 4 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}\right)\right) \left(\left(-1\right) 1 + 3 \log{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}\right) \right)}\right) \geq 0$$

                          /        1/3\     
/          /  3     1/3\\ |17   4*e   |     
|-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| >= 0
\          \  10       // \5      3   /     
     

но

                          /        1/3\    
/          /  3     1/3\\ |17   4*e   |    
|-1 + 3*log|- -- + e   ||*|-- - ------| < 0
\          \  10       // \5      3   /    
    

Тогда
$$x \leq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \wedge x \leq \frac{3}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /           1/3     \
   |          e        |
And|x <= 3/4, ---- <= x|
   \           3       /

$$x \leq \frac{3}{4} \wedge \frac{e^{\frac{1}{3}}}{3} \leq x$$

Быстрый ответ 2

  1/3      
 e         
[----, 3/4]
  3        

$$x\ in\ \left[\frac{e^{\frac{1}{3}}}{3}, \frac{3}{4}\right]$$