x^2-6*x+5<=0 (неравенство)

 2               
x  - 6*x + 5 <= 0

$$x^{2} - 6 x + 5 \leq 0$$

Дано неравенство:
$$x^{2} - 6 x + 5 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - 6 x + 5 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (5) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - 6 x + 5 \leq 0$$

    2   6*9         
9/10  - --- + 5 <= 0
         10         

 41     
--- <= 0
100     

но

 41     
--- >= 0
100     

Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 1 \wedge x \leq 5$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

And(1 <= x, x <= 5)

$$1 \leq x \wedge x \leq 5$$

[1, 5]

$$x \in \left[1, 5\right]$$