sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (неравенство)

В неравенстве неизвестная


    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      _______     _______     _______
    \/ x + 4  - \/ x - 1  > \/ x - 2 
    $$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2$$
    или
    $$\left(-1\right)^{2} \left(x - 2\right) + - 2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + 1^{2} \left(x + 4\right) = x - 2$$
    или
    $$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} + 2 = x - 2$$
    преобразуем:
    $$- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = - x - 4$$
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    $$4 x^{2} + 8 x - 32 = \left(- x - 4\right)^{2}$$
    $$4 x^{2} + 8 x - 32 = x^{2} + 8 x + 16$$
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    $$3 x^{2} - 48 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 3$$
    $$b = 0$$
    $$c = -48$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (3) * (-48) = 576

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = -4$$

    Т.к.
    $$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = \frac{x}{2} + 2$$
    и
    $$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} \geq 0$$
    то
    $$\frac{x}{2} + 2 \geq 0$$
    или
    $$-4 \leq x$$
    $$x < \infty$$
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = -4$$
    проверяем:
    $$x_{1} = 4$$
    $$- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0$$
    =
    $$- \sqrt{-2 + 4} + - \sqrt{-1 + 4} + \sqrt{4 + 4} = 0$$
    =
    sqrt(2) - sqrt(3) = 0

    - Нет
    $$x_{2} = -4$$
    $$- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0$$
    =
    $$- \sqrt{-4 - 2} + \sqrt{-4 + 4} - \sqrt{-4 - 1} = 0$$
    =
    -i*sqrt(5) - i*sqrt(6) = 0

    - Нет
    Тогда, окончательный ответ:
    Данное ур-ние не имеет решений
    $$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    =
    $$- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$
         _________________________        _________________________        _________________________
        /           ____                 /           ____                 /           ____          
       /    1   2*\/ 31    1            /    1   2*\/ 31    1            /    1   2*\/ 31    1      
      /   - - + -------- - -- + 4  -   /   - - + -------- - -- - 1  >   /   - - + -------- - -- - 2 
    \/      3      3       10        \/      3      3       10        \/      3      3       10     

         ________________        _________________        _________________
        /           ____        /            ____        /            ____ 
       /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   >    /    73   2*\/ 31  
      /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
    \/     30      3        \/      30      3        \/      30      3     

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    Данное неравенство не имеет решений
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: