sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      _______     _______     _______
    \/ x + 4  - \/ x - 1  > \/ x - 2 
    x+4x1>x2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x+4x1>x2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x+4x1=x2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}
    Решаем:
    Дано уравнение
    x+4x1=x2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    (x1+x+4)2=x2\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2
    или
    12(1x+4)+((1)21(1x1)(1x+4)+(1)2(1x1))=x21^{2} \cdot \left(1 x + 4\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x - 1\right) \left(1 x + 4\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x - 1\right)\right) = x - 2
    или
    2x2x2+3x4+3=x22 x - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} + 3 = x - 2
    преобразуем:
    2x2+3x4=x5- 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = - x - 5
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    4x2+12x16=(x5)24 x^{2} + 12 x - 16 = \left(- x - 5\right)^{2}
    4x2+12x16=x2+10x+254 x^{2} + 12 x - 16 = x^{2} + 10 x + 25
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    3x2+2x41=03 x^{2} + 2 x - 41 = 0
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    x1=Db2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    x2=Db2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=3a = 3
    b=2b = 2
    c=41c = -41
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (2)^2 - 4 * (3) * (-41) = 496

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Упростить
    x2=231313x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    Упростить

    Т.к.
    x2+3x4=x2+52\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}
    и
    x2+3x40\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} \geq 0
    то
    x2+520\frac{x}{2} + \frac{5}{2} \geq 0
    или
    5x-5 \leq x
    x<x < \infty
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x2=231313x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    проверяем:
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x12x11+x1+4=0- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0
    =
    (1)2(132313)((13+2313)+4+(1)1(132313))=0- \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} - \left(- \sqrt{\left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} + \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}\right) = 0
    =
    0 = 0

    - тождество
    x2=231313x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    x22x21+x2+4=0- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0
    =
    (231313)2+((231313)1+(231313)+4)=0- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 2} + \left(- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 1} + \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) + 4}\right) = 0
    =
    sqrt(11/3 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 1 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 2 - 2*sqrt(31)/3) = 0

    - Нет
    Тогда, окончательный ответ:
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Данные корни
    x1=13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    110(132313)- \frac{1}{10} - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)
    =
    1330+2313- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    подставляем в выражение
    x+4x1>x2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    (1)1(13302313)+(1330+2313)+4>(1)2(13302313)- \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} > \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}
         ________________        _________________        _________________
        /           ____        /            ____        /            ____ 
       /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   >    /    73   2*\/ 31  
      /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
    \/     30      3        \/      30      3        \/      30      3     

    значит решение неравенства будет при:
    x<13+2313x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    02468-6-4-2101205
    Быстрый ответ [src]
       /                      ____\
       |              1   2*\/ 31 |
    And|2 <= x, x < - - + --------|
       \              3      3    /
    2xx<13+23132 \leq x \wedge x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Быстрый ответ 2 [src]
                  ____ 
          1   2*\/ 31  
    [2, - - + --------)
          3      3     
    x in [2,13+2313)x\ in\ \left[2, - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)