sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _______     _______     _______
\/ x + 4  - \/ x - 1  > \/ x - 2 

$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x - 2}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2$$
или
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 2\right) + - 2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + 1^{2} \left(x + 4\right) = x - 2$$
или
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} + 2 = x - 2$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = - x - 4$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$4 x^{2} + 8 x - 32 = \left(- x - 4\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 8 x - 32 = x^{2} + 8 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$3 x^{2} - 48 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = -48$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (3) * (-48) = 576

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$

Т.к.
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} = \frac{x}{2} + 2$$
и
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 8} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{2} + 2 \geq 0$$
или
$$-4 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -4$$
проверяем:
$$x_{1} = 4$$
$$- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{-2 + 4} + - \sqrt{-1 + 4} + \sqrt{4 + 4} = 0$$
=

sqrt(2) - sqrt(3) = 0

- Нет
$$x_{2} = -4$$
$$- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{-4 - 2} + \sqrt{-4 + 4} - \sqrt{-4 - 1} = 0$$
=

-i*sqrt(5) - i*sqrt(6) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
=
$$- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
подставляем в выражение
$$- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4} > \sqrt{x - 2}$$

     _________________________        _________________________        _________________________
    /           ____                 /           ____                 /           ____          
   /    1   2*\/ 31    1            /    1   2*\/ 31    1            /    1   2*\/ 31    1      
  /   - - + -------- - -- + 4  -   /   - - + -------- - -- - 1  >   /   - - + -------- - -- - 2 
\/      3      3       10        \/      3      3       10        \/      3      3       10     

     ________________        _________________        _________________
    /           ____        /            ____        /            ____ 
   /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   >    /    73   2*\/ 31  
  /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
\/     30      3        \/      30      3        \/      30      3     

значит решение неравенства будет при:
$$x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений