Решение неравенств/ sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2)

sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)>sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
      _______     _______     _______
\/ x + 4  - \/ x - 1  > \/ x - 2
    x+4−x−1>x−2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x+4−x−1>x−2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x+4−x−1=x−2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}
    Решаем:
    Дано уравнение
    x+4−x−1=x−2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    (−x−1+x+4)2=x−2\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2
    или
    12⋅(1x+4)+((−1)2⋅1(1x−1)(1x+4)+(−1)2⋅(1x−1))=x−21^{2} \cdot \left(1 x + 4\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x - 1\right) \left(1 x + 4\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x - 1\right)\right) = x - 2
    или
    2x−2x2+3x−4+3=x−22 x - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} + 3 = x - 2
    преобразуем:
    −2x2+3x−4=−x−5- 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = - x - 5
    Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
    4x2+12x−16=(−x−5)24 x^{2} + 12 x - 16 = \left(- x - 5\right)^{2}
    4x2+12x−16=x2+10x+254 x^{2} + 12 x - 16 = x^{2} + 10 x + 25
    Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
    3x2+2x−41=03 x^{2} + 2 x - 41 = 0
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=3a = 3
    b=2b = 2
    c=−41c = -41
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (2)^2 - 4 * (3) * (-41) = 496

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Упростить
    x2=−2313−13x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    Упростить

    Т.к.
    x2+3x−4=x2+52\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}
    и
    x2+3x−4≥0\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} \geq 0
    то
    x2+52≥0\frac{x}{2} + \frac{5}{2} \geq 0
    или
    −5≤x-5 \leq x
    x<∞x < \infty
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x2=−2313−13x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    проверяем:
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    −x1−2−x1−1+x1+4=0- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0
    =
    −(−1)2−(13−2313)−(−(−13+2313)+4+(−1)1−(13−2313))=0- \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} - \left(- \sqrt{\left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} + \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}\right) = 0
    =
    0 = 0

    - тождество
    x2=−2313−13x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}
    −x2−2−x2−1+x2+4=0- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0
    =
    −(−2313−13)−2+(−(−2313−13)−1+(−2313−13)+4)=0- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 2} + \left(- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 1} + \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) + 4}\right) = 0
    =
    sqrt(11/3 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 1 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 2 - 2*sqrt(31)/3) = 0

    - Нет
    Тогда, окончательный ответ:
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Данные корни
    x1=−13+2313x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    −110−(13−2313)- \frac{1}{10} - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)
    =
    −1330+2313- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    подставляем в выражение
    x+4−x−1>x−2\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} > \sqrt{x - 2}
    −(−1)1−(1330−2313)+(−1330+2313)+4>(−1)2−(1330−2313)- \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} > \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}
         ________________        _________________        _________________
    /           ____        /            ____        /            ____ 
   /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   >    /    73   2*\/ 31  
  /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
\/     30      3        \/      30      3        \/      30      3

    значит решение неравенства будет при:
    x<−13+2313x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
     _____          
      \    
-------ο-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    02468-6-4-2101205
    Быстрый ответ [src]
       /                      ____\
   |              1   2*\/ 31 |
And|2 <= x, x < - - + --------|
   \              3      3    /
    2≤x∧x<−13+23132 \leq x \wedge x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}
    Быстрый ответ 2 [src]
                  ____ 
      1   2*\/ 31  
[2, - - + --------)
      3      3
    x in [2,−13+2313)x\ in\ \left[2, - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)