sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
               -1  
    sin(x) <= -----
                ___
              \/ 2 
    sin(x)12\sin{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    sin(x)12\sin{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    sin(x)=12\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}
    Решаем:
    Дано уравнение
    sin(x)=12\sin{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=2πn+asin(22)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
    x=2πnasin(22)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
    Или
    x=2πnπ4x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x=2πn+5π4x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    , где n - любое целое число
    x1=2πnπ4x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x2=2πn+5π4x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    x1=2πnπ4x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x2=2πn+5π4x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    Данные корни
    x1=2πnπ4x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x2=2πn+5π4x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    (2πnπ4)110\left(2 \pi n - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}
    =
    2πnπ41102 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
    подставляем в выражение
    sin(x)12\sin{\left(x \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}
    sin(2πnπ4110)12\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \leq - \frac{1}{\sqrt{2}}
                        ___ 
        /1    pi\    -\/ 2  
    -sin|-- + --| <= -------
        \10   4 /       2   
                     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x2πnπ4x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x_1      x_2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    x2πnπ4x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x2πn+5π4x \geq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    Решение неравенства на графике
    0-60-50-40-30-20-101020304050602-2
    Быстрый ответ [src]
       /5*pi            7*pi\
    And|---- <= x, x <= ----|
       \ 4               4  /
    5π4xx7π4\frac{5 \pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{4}
    Быстрый ответ 2 [src]
     5*pi  7*pi 
    [----, ----]
      4     4   
    x in [5π4,7π4]x\ in\ \left[\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]
    График
    sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/inequation/e/16/62f7b4324dbcd27a055151b842747.png