sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
               -1  
    sin(x) <= -----
                ___
              \/ 2 
    $$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi            1 
    - -- + 2*pi*n - --
      4             10

    =
    $$2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
       /  pi            1 \     -1   
    sin|- -- + 2*pi*n - --| <= ------
       \  4             10/         1
                                 ___ 
                               \/ 2  

                                 ___ 
        /1    pi         \    -\/ 2  
    -sin|-- + -- - 2*pi*n| <= -------
        \10   4          /       2   
                              

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
    $$x \geq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /     -pi          \      5*pi\
    Or|And|x <= ----, -oo < x|, x = ----|
      \   \      4           /       4  /
    $$\left(x \leq - \frac{\pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{5 \pi}{4}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          -pi      5*pi 
    (-oo, ----] U {----}
           4        4   
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left\{\frac{5 \pi}{4}\right\}$$