sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: sin(x)<=-1/(sqrt(2)) (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
-1
sin(x) <= -----
___
\/ 2
$$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- + 2*pi*n - -- 4 10
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} \leq - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
/ pi 1 \ -1
sin|- -- + 2*pi*n - --| <= ------
\ 4 10/ 1
___
\/ 2 ___
/1 pi \ -\/ 2
-sin|-- + -- - 2*pi*n| <= -------
\10 4 / 2
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x1 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ / -pi \ 5*pi\ Or|And|x <= ----, -oo < x|, x = ----| \ \ 4 / 4 /
$$\left(x \leq - \frac{\pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee x = \frac{5 \pi}{4}$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
-pi 5*pi
(-oo, ----] U {----}
4 4
$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left\{\frac{5 \pi}{4}\right\}$$