Предел функции asin(x)/(3*x)

Вы ввели

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  3*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{3}$$

               /sin(u)\  
= 1/3 / (  lim |------| )
          u->0+\  u   /  

Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$

Быстрый ответ

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{6}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\pi}{6}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  3*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0-\  3*x  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

Численный ответ

0.333333333333333

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График