Предел функции atan(2 + x)/(2 + x)

Вы ввели

      /atan(2 + x)\
 lim  |-----------|
x->-2+\   2 + x   /

$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right)$$

Слева и справа

      /atan(2 + x)\
 lim  |-----------|
x->-2+\   2 + x   /

$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

      /atan(2 + x)\
 lim  |-----------|
x->-2-\   2 + x   /

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = 1$$
Подробнее при x→-2 слева
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2}$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{3}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{3}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

1.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to -2^+} \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(x + 2\right) = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График