Предел функции ((2 + n)/n)^n

Вы ввели

            n
     /2 + n\ 
 lim |-----| 
n->oo\  n  / 

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n}\right)^{n}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n}\right)^{n}$$
преобразуем
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n} + \frac{2}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{n}{2}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n}\right)^{n} = e^{2}$$

Быстрый ответ

 2
e 

$$e^{2}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График