Предел функции (2+x)/(1-x)

Вы ввели

     /2 + x\
 lim |-----|
x->oo\1 - x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{u - 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0 + 1}{-1 + 0} = -1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = -1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /2 + x\
 lim |-----|
x->1+\1 - x/

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$

-oo

$$-\infty$$

= -454.0

     /2 + x\
 lim |-----|
x->1-\1 - x/

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$

oo

$$\infty$$

= 452.0

Быстрый ответ

-1

$$-1$$

Численный ответ

-454.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/-oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 2\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - x\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{1 - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График