Предел функции sqrt(1+n)-sqrt(n)

Вы ввели

     /  _______     ___\
 lim \\/ 1 + n  - \/ n /
n->oo                   

$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) \left(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right)}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{n}\right)^{2} + \left(\sqrt{n + 1}\right)^{2}}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n + \left(n + 1\right)}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$$

Разделим числитель и знаменатель на sqrt(n):
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n} \left(1 + \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n} \left(\sqrt{\frac{n + 1}{n}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right)}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{u + 1} + 1\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{1}{\tilde{\infty} \left(1 + \sqrt{0 + 1}\right)} = 0$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = 0$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График