Предел функции (-1 + 2^x)/x

Вы ввели

     /      x\
     |-1 + 2 |
 lim |-------|
x->0+\   x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /      x\
     |-1 + 2 |
 lim |-------|
x->0+\   x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right)$$

log(2)

$$\log{\left(2 \right)}$$

= 0.693147180559945

     /      x\
     |-1 + 2 |
 lim |-------|
x->0-\   x   /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right)$$

log(2)

$$\log{\left(2 \right)}$$

= 0.693147180559945

Быстрый ответ

log(2)

$$\log{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

0.693147180559945

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{x} - 1\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{x} \log{\left(2 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 \right)}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(2 \right)}$$
=
$$\log{\left(2 \right)}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График