Предел функции 1/(-1 + e^x) - 1/x

Вы ввели

     /   1      1\
 lim |------- - -|
x->0+|      x   x|
     \-1 + E     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$

Быстрый ответ

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

Слева и справа

     /   1      1\
 lim |------- - -|
x->0+|      x   x|
     \-1 + E     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

= -0.5

     /   1      1\
 lim |------- - -|
x->0-|      x   x|
     \-1 + E     /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

= -0.5

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-2 + e}{-1 + e}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

-0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - e^{x} + 1\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x} - x\right) = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - e^{x} + 1}{x \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - e^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x e^{x} - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + e^{x} - 1}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График