Предел функции (1-cos(2*x))/x^2

Вы ввели

     /1 - cos(2*x)\
 lim |------------|
x->oo|      2     |
     \     x      /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Используем тригонометрическую формулу

sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Сделаем замену
$$u = x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.
тогда
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$2 \cdot 1^{2}$$
=
$$2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(2 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(2 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /1 - cos(2*x)\
 lim |------------|
x->0+|      2     |
     \     x      /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /1 - cos(2*x)\
 lim |------------|
x->0-|      2     |
     \     x      /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Быстрый ответ

0

$$0$$

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График