Предел функции (1-cos(x))/x^2

Вы ввели

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->oo|     2    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Используем тригонометрическую формулу

sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.
тогда
$$2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = 2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}$$
=
$$\frac{2}{4}$$
=
$$\frac{1}{2}$$

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$

Слева и справа

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|     2    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-|     2    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Быстрый ответ

0

$$0$$

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График