Предел функции (1 + 2/x)^x

Вы ввели

            x
     /    2\ 
 lim |1 + -| 
x->oo\    x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{2}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$

Быстрый ответ

 2
e 

$$e^{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$

$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = 3$$

$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График