Предел функции (1 + 1/x)^5

Вы ввели

            5
     /    1\ 
 lim |1 + -| 
x->oo\    x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5}$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = 32$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = 32$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5} = 1$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{5} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{5}$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{5}}{x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5}{5 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5\right)}{\frac{d}{d x} 5 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20}{20 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} + 60 x^{2} + 60 x + 20\right)}{\frac{d}{d x} 20 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{60 x^{2} + 120 x + 60}{60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 x^{2} + 120 x + 60\right)}{\frac{d}{d x} 60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{120 x + 120}{120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(120 x + 120\right)}{\frac{d}{d x} 120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 5 раз(а)

График