Предел функции (1 + t^(-2))^t

Вы ввели

             t
     /    1 \ 
 lim |1 + --| 
t->oo|     2| 
     \    t / 

$$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t^{2}}\right)^{t}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t^{2}}\right)^{t}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{t^{2}}{1}$$
тогда
$$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t^{2}}\right)^{t}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \sqrt{u}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{1}{\sqrt{u}}} = e^{- \frac{1}{\sqrt{u}}}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t^{2}}\right)^{t} = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$