Предел функции (1 + x^2)/x

Вы ввели

     /     2\
     |1 + x |
 lim |------|
x->oo\  x   /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 1}{u}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 1}{0} = \infty$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = \infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = -\infty$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right) = -\infty$$

Быстрый ответ

oo

$$\infty$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График