Предел функции 6*x/sin(x)

Вы ввели

     / 6*x  \
 lim |------|
x->0+\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$6 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$6 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 6$$

Слева и справа

     / 6*x  \
 lim |------|
x->0+\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

6

$$6$$

= 6.0

     / 6*x  \
 lim |------|
x->0-\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

6

$$6$$

= 6.0

Быстрый ответ

6

$$6$$

Численный ответ

6.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$6$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График