Предел функции sin(x*y)/x

Вы ввели

     /sin(x*y)\
 lim |--------|
x->oo\   x    /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = x y$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{y \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$y \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = y$$

Слева и справа

     /sin(x*y)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$

y

$$y$$

     /sin(x*y)\
 lim |--------|
x->0-\   x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$

y

$$y$$

Быстрый ответ

     /sin(x*y)\
 lim |--------|
x->oo\   x    /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = y$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = y$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = \sin{\left(y \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right) = \sin{\left(y \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x y \right)}}{x}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo