Предел функции (tan(x)^3 - 3*tan(x))/cos(x + pi/6)

Вы ввели

      /   3              \
      |tan (x) - 3*tan(x)|
 lim  |------------------|
   pi |      /    pi\    |
x->--+|   cos|x + --|    |
   3  \      \    6 /    /

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)$$

Слева и справа

      /   3              \
      |tan (x) - 3*tan(x)|
 lim  |------------------|
   pi |      /    pi\    |
x->--+|   cos|x + --|    |
   3  \      \    6 /    /

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)$$

-24

$$-24$$

= -24.0

      /   3              \
      |tan (x) - 3*tan(x)|
 lim  |------------------|
   pi |      /    pi\    |
x->---|   cos|x + --|    |
   3  \      \    6 /    /

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)$$

-24

$$-24$$

= -24.0

Быстрый ответ

-24

$$-24$$

Численный ответ

-24.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} \cos{\left(\frac{6 x + \pi}{6} \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(\frac{6 x + \pi}{6} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{6 x + \pi}{6} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 3\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(\frac{6 x + \pi}{6} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(3 - 3 \tan^{4}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+}\left(3 - 3 \tan^{4}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$-24$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График