Предел функции (36-32*x+7*x^4+12*x^6)/(36-32*x^5+7*x^6+12*x)

Вы ввели

     /               4       6\
     |36 - 32*x + 7*x  + 12*x |
 lim |------------------------|
x->oo|         5      6       |
     \36 - 32*x  + 7*x  + 12*x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^6:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}} + \frac{36}{x^{6}}}{7 - \frac{32}{x} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{36}{x^{6}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 + \frac{7}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}} + \frac{36}{x^{6}}}{7 - \frac{32}{x} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{36}{x^{6}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{36 u^{6} - 32 u^{5} + 7 u^{2} + 12}{36 u^{6} + 12 u^{5} - 32 u + 7}\right)$$
=
$$\frac{- 32 \cdot 0^{5} + 7 \cdot 0^{2} + 36 \cdot 0^{6} + 12}{\left(-32\right) 0 + 12 \cdot 0^{5} + 36 \cdot 0^{6} + 7} = \frac{12}{7}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = \frac{12}{7}$$

Быстрый ответ

12/7

$$\frac{12}{7}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = \frac{12}{7}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right) = \frac{12}{7}$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36}{7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{6} + 7 x^{4} - 32 x + 36\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{6} - 32 x^{5} + 12 x + 36\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{72 x^{5} + 28 x^{3} - 32}{42 x^{5} - 160 x^{4} + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(72 x^{5} + 28 x^{3} - 32\right)}{\frac{d}{d x} \left(42 x^{5} - 160 x^{4} + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{360 x^{4} + 84 x^{2}}{210 x^{4} - 640 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(360 x^{4} + 84 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(210 x^{4} - 640 x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1440 x^{3} + 168 x}{840 x^{3} - 1920 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1440 x^{3} + 168 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(840 x^{3} - 1920 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4320 x^{2} + 168}{2520 x^{2} - 3840 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4320 x^{2} + 168\right)}{\frac{d}{d x} \left(2520 x^{2} - 3840 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8640 x}{5040 x - 3840}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 8640 x}{\frac{d}{d x} \left(5040 x - 3840\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{12}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{12}{7}$$
=
$$\frac{12}{7}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 6 раз(а)

График