Предел функции (x/(-1 + x))^x

Вы ввели

             x
     /  x   \ 
 lim |------| 
x->oo\-1 + x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x - 1}{1}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x - 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{x} = e$$

Быстрый ответ

E

$$e$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График