Предел функции x/(-3 + x)^2

Вы ввели

     /    x    \
 lim |---------|
x->oo|        2|
     \(-3 + x) /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{9 u^{2} - 6 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0}{- 0 + 9 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 3\right)^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 6}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x - 6}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График