Предел функции x/(1 + x)^3

Вы ввели

     /   x    \
 lim |--------|
x->oo|       3|
     \(1 + x) /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2}}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2}}{0^{3} + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0^{2} + 1} = 0$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = \frac{1}{8}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{3 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График