Предел функции (-15+x^3-6*x^2+14*x)/(x^5-27*x^2)

Вы ввели

     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->oo|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{14}{x^{4}} - \frac{15}{x^{5}}}{1 - \frac{27}{x^{3}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{14}{x^{4}} - \frac{15}{x^{5}}}{1 - \frac{27}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 15 u^{5} + 14 u^{4} - 6 u^{3} + u^{2}}{1 - 27 u^{3}}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} - 15 \cdot 0^{5} - 6 \cdot 0^{3} + 14 \cdot 0^{4}}{1 - 27 \cdot 0^{3}} = 0$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Слева и справа

     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->3+|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /

$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{14 x + \left(- 6 x^{2} + \left(x^{3} - 15\right)\right)}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$

5/243

$$\frac{5}{243}$$

= 0.0205761316872428

     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->3-|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{14 x + \left(- 6 x^{2} + \left(x^{3} - 15\right)\right)}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$

5/243

$$\frac{5}{243}$$

= 0.0205761316872428

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \frac{3}{13}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \frac{3}{13}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0$$

Численный ответ

0.0205761316872428

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{3} - 27\right)\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{2} \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15\right)}{\frac{d}{d x} x^{2} \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 12 x + 14}{3 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 12 x + 14\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 27\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x - 12}{20 x^{3} - 54}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x - 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} - 54\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{10 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{10 x^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)

График