Предел функции (-15+x^3-6*x^2+14*x)/(x^5-27*x^2)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение предела 😼

Знак предела
↑ Функция f(x) ?

v

Для конечных точек:

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->oo|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /
limx(x36x2+14x15x527x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)
Подробное решение
Возьмём предел
limx(x36x2+14x15x527x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)
Разделим числитель и знаменатель на x^5:
limx(x36x2+14x15x527x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) =
limx(1x26x3+14x415x5127x3)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{14}{x^{4}} - \frac{15}{x^{5}}}{1 - \frac{27}{x^{3}}}\right)
Сделаем Замену
u=1xu = \frac{1}{x}
тогда
limx(1x26x3+14x415x5127x3)=limu0+(15u5+14u46u3+u2127u3)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + \frac{14}{x^{4}} - \frac{15}{x^{5}}}{1 - \frac{27}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 15 u^{5} + 14 u^{4} - 6 u^{3} + u^{2}}{1 - 27 u^{3}}\right)
=
021505603+140412703=0\frac{0^{2} - 15 \cdot 0^{5} - 6 \cdot 0^{3} + 14 \cdot 0^{4}}{1 - 27 \cdot 0^{3}} = 0

Получаем окончательный ответ:
limx(x36x2+14x15x527x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0
График
02468-8-6-4-2-10100100
Быстрый ответ [src]
0
00
Слева и справа [src]
     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->3+|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /
limx3+(14x+(6x2+(x315))x527x2)\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{14 x + \left(- 6 x^{2} + \left(x^{3} - 15\right)\right)}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)
5/243
5243\frac{5}{243}
= 0.0205761316872428
     /       3      2       \
     |-15 + x  - 6*x  + 14*x|
 lim |----------------------|
x->3-|       5       2      |
     \      x  - 27*x       /
limx3(14x+(6x2+(x315))x527x2)\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{14 x + \left(- 6 x^{2} + \left(x^{3} - 15\right)\right)}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)
5/243
5243\frac{5}{243}
= 0.0205761316872428
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
limx(x36x2+14x15x527x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0
limx0(x36x2+14x15x527x2)=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \infty
Подробнее при x→0 слева
limx0+(x36x2+14x15x527x2)=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \infty
Подробнее при x→0 справа
limx1(x36x2+14x15x527x2)=313\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \frac{3}{13}
Подробнее при x→1 слева
limx1+(x36x2+14x15x527x2)=313\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = \frac{3}{13}
Подробнее при x→1 справа
limx(x36x2+14x15x527x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right) = 0
Подробнее при x→-oo
Численный ответ [src]
0.0205761316872428
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
oo/oo,

т.к. для числителя предел
limx(x36x2+14x15)=\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15\right) = \infty
и для знаменателя предел
limx(x2(x327))=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{3} - 27\right)\right) = \infty
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
limx(x36x2+14x15x527x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{5} - 27 x^{2}}\right)
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
limx(x36x2+14x15x2(x327))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15}{x^{2} \left(x^{3} - 27\right)}\right)
=
limx(ddx(x36x2+14x15)ddxx2(x327))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 15\right)}{\frac{d}{d x} x^{2} \left(x^{3} - 27\right)}\right)
=
limx(3x212x+143x4+2x(x327))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 12 x + 14}{3 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 27\right)}\right)
=
limx(ddx(3x212x+14)ddx(3x4+2x(x327)))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 12 x + 14\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{4} + 2 x \left(x^{3} - 27\right)\right)}\right)
=
limx(6x1220x354)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x - 12}{20 x^{3} - 54}\right)
=
limx(ddx(6x12)ddx(20x354))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x - 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(20 x^{3} - 54\right)}\right)
=
limx(110x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{10 x^{2}}\right)
=
limx(110x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{10 x^{2}}\right)
=
00
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 3 раз(а)
График
Предел функции (-15+x^3-6*x^2+14*x)/(x^5-27*x^2) /media/krcore-image-pods/hash/complex/2/57/fdcce4811e6dba3515c0313e431e6.png

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях применяют следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
– умножение
3/x
– деление
x^3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x - 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5) == 4.0)
ceiling(x)
Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности – знак для бесконечности