Предел функции (x-sin(x))/x^3

Вы ввели

     /x - sin(x)\
 lim |----------|
x->oo|     3    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$

Слева и справа

     /x - sin(x)\
 lim |----------|
x->0+|     3    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$

1/6

$$\frac{1}{6}$$

= 0.166666666666667

     /x - sin(x)\
 lim |----------|
x->0-|     3    |
     \    x     /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$

1/6

$$\frac{1}{6}$$

= 0.166666666666667

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{1}{6}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{1}{6}$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 1 - \sin{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 1 - \sin{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$

Численный ответ

0.166666666666667

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График