Предел функции lim y = f(x) = atan(x)/x (арктангенс от (х) делить на х) в точке x -> x0 и бесконечности - найти и вычислить с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Предел функции atan(x)/x

Препод очень удивится увидев твоё верное решение предела😉

Знак предела
↑ Функция f(x) ?

Для конечных точек:

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0+\   x   /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
$$x = \tan{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$
             /tan(u)\  
= 1 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

преобразуем
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
График
Быстрый ответ [src]
1
$$1$$
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Слева и справа [src]
     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0+\   x   /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0-\   x   /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
Численный ответ [src]
1.0
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2} + 1}$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Предел функции atan(x)/x /media/krcore-image-pods/e/20/f1b02f61d5ad277985b47c4e2da26.png

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: